Lijnen met getallen of bakken met ballen?

Wat is dat toch met dat vingertellen? Elke leerkracht van groep 4 die ik daar om vroeg, kon mij graag een vijftal fanatieke vingertellers leveren.

• Kinderen leren zo'n 5 nieuwe woorden per dag. Dus 20 sommetjes koppelen aan 20 systematische uitkomsten zou in pakweg 5 schooldagen bekeken moeten zijn. Het onderwijs gebruikt voor het automatiseren van sommen tot 10 vooral lijnmaterialen als het telraam en de getallenlijn. Passen die lijnmaterialen bij de getallen, de vingers, de ogen, het werkgeheugen en het denken? In het eerste artikel een antwoord op die vraag.

• Psychologisch gezien lijkt het lezen op het rekenen. Maar leren lezen is woordbeelden leren herkennen en leren rekenen is vooral motorisch tellen. In het tweede artikel dus de vraag of kinderen met een aantalbeeld kunnen ontsnappen aan de vingertellerij.

• De getallenlijn is een enkele lijn. Het 2x(5+5)telraam, de vingerbeelden, de eierdoos en kwadraatbeelden zijn twee lijnen. Dat is meer een '2d-beeld' dan een enkele lijn. In het derde artikel is de vraag: kun je met dubbele lijnen beter leren automatiseren dan met enkele lijnen?

• 'Echte' 2d-aantal-beelden voor het rekenen zijn: taartpunten, dobbelstenen en het Rekenmannetje. Hoe passen "echte" aantalbeelden bij de getallen en de psychologie?

• En dan tot slot van deze serie over automatiseren: Kun je met psychologisch uitgemillimeterde aantalbeelden dit artikel: de vingertellerrij de kop indrukken en voorkomen?

1 Aantalbeelden

Zernike was in 1894 al een voorstander van tellend optellen. Maar zo'n 20 jaar later zegt hij: Dat mechanisch tellen mag niet de eenige manier zijn om de grootte eener hoeveelheid te bepalen. Door de groepeering van de eenheden kan het vinden van het aantal zeer vergemakkelijkt worden. Hij komt dan met stippatronen (Treffers, 2015). Na 1920 verdwijnen de stippen weer. Waarom is niet duidelijk.

Psycho­logen wisten toen al dat de ogen hoeveel­heden tot 4 zonder tellen foutloos kunnen herken­nen (Jevons, 1871). Subitizing heet dat nu (Clements, 1999). Uit onderzoek blijkt ook dat de proef­personen niet toch stiekem zitten te tellen. Bij subitizing zijn er namelijk ook geen oog­bewegingen geconstateerd (Nieder, 2019).

Dat subitizen zit er dus diep in. Ook apen en vogels kunnen zonder tellen zien dat het er vier zijn. De hersenen hebben zelfs neuronen die gespecialiseerd zijn in het aantal 1, 2, 3 of 4. Alle zintuigen kunnen dat subitizen. Dit komt mede door multimodale perceptie. Er is namelijk op hoog niveau nogal veel generieke functionaliteit voor de zintuigen (Marks, 1978). Maar ja, dat subitizen gaat maar tot 4. Het echte rekenen begint na 4. Tja, wat moet je dan? Nou tellen dus met telraam en getallenlijn is dan de conclusie van het onderwijs en de literatuur. Maar die oplossing leidt dus tot vingertellerrij was de conclusie eerder. Een andere mogelijkheid is uitgemillimeterde aantalbeelden identificeren zegt de psychologie dan weer. Een schaap wil zich niet vergissen tussen het gezicht van een schaap en dat van een wolf. Kinderen herkennen het gezicht van moeder al na drie maanden (Mussen et al., 1970). De evolutie heeft namelijk voor zoogdieren in miljoenen jaren wijselijk een oog gebouwd dat complexe visuele beelden zeer goed kan waarnemen en die voor een deel zelfs geïnterpreteerd naar de hersenen stuurt. Dat herkennen van een beeld gaat snel, binnen 233 milliseconden hebben de ogen het wel gezien. Niet alleen het herkennen maar ook de interpretatie is een (visuele) geautomatiseerde handeling geworden. Ook wanneer het beeld ingewikkeld is en delen van het beeld zich net buiten het oog­fixatie­veld bevinden.

Tellen doen zoogdieren dus niet. Niet nodig. Te langzaam. Te gevaarlijk. Vier aanstormende wolven is immers evenveel als vijf namelijk: Wegwezen. Je ogen tellen ook niet met een getallenlijn (meetlint) welke lijn van afbeelding 1 het langst is maar zien dat direct. Althans dat denken ze. Een sluwe psychologie kan het oog sturen naar een interpretatie die de psychologie wil (afb. 1). Desnoods met list, bedrog en intimidatie.

Is de blauwe lijn langer dan de groene lijn? Afbeelding 1.

noot 1 Maar ja, geldt dat ook voor het leren rekenen? Ik heb het geprobeerd.

2 Psychologisch uitgemillimeterd

Afbeeldingen 2 en verder tonen aantalbeelden die psychologisch uitgemillimeterd zijn.     

3 Detailspecificatie van de ballenbakbeelden

De ballen van afbeelding 2 en verder voldoen aan het Programma van eisen. De ballen hebben de volgende detailspecificatie.

• De ballen zijn zo groot mogelijk. Dus geen stipjes zoals op dobbelstenen. Grote ballen zijn dan ook zichtbaar wanneer zij net buiten het oog­fixatie­veld liggen. Op deze wijze zijn ook beelden van grote aantallen identifieerbaar. Kinderen met slecht zicht kunnen verder toch meekomen. Ook als ze achter in de klas zitten en nog geen bril hebben gekregen.
• De bakken worden gevuld van beneden naar boven zoals gebruikelijk in grafieken en hoeveelheidstaal (huizenhoog).
• De beelden voor de aantallen 1, 2, 3 en 4 vormen samen het beeld voor 5. In de beelden voor de aantallen 6, 7, 8, 9 en 10 wordt het beeld van 5 herhaald (groupitizing, Wege et al. 2022).
• De bakken staan op hun korte kant. Ze liggen niet naast elkaar zoals bij eierdozen en de gebruikelijke telramen. Dat sluit beter aan bij plaatswaarde.
• De aantalbeelden zijn goed te combineren met cijfers (afb. 9).

  
  Aantal en cijfer tegelijk zichtbaar in het oogfixatieveld
  
  Afbeelding 9.

• Het cijfer van het aantalbeeld kan op het aantal geplaatst worden in de kleur van het aantal.
• De beelden zijn concreet verwoordbaar (zie afbeelding 2 en verder). Zo is een tiental gewoon een volle bak. Het aantal 9 is dan een bijna volle bak. En 8 is dan natuurlijk een bijna, bijna volle bak. Dat is niet alleen concreet maar ook verwoordt vanuit 10, namelijk 9=10-1. Vervolgens zou je dan 8 ook vanuit 10 kunnen verwoorden als bijna bijna volle bak (8=10-2 Als je zelf die termen zonder toelichting gebruikt dan blijken kinderen ze gewoon over te nemen.
• Alleen sommen met een uitkomst onder 11 zijn gebruikt.

4 Aantalbeelden herkennen

De kinderen moeten de aantallen niet bepalen met motorische telhandelingen maar door directe visuele identificatie. Daarbij gaat het niet om het tellend uitrekenen maar om herkenning van aantalstructuren (afb. 10, 11 en 12).

• Aantalbeelden herkennen leerden de kinderen overigens vrij snel. Dobbelsteen 5 herkent 64% van groep 3 en 4 bij de voortest al binnen bruto 2,2 seconden. Er kon daarom vrij snel overgegaan worden op het identificeren van aantalstructuren. Dus 5 blauwe ballen + 4 groene ballen.
• Voorkomen moet worden dat de kinderen gaan tellen omdat ze dan zeker weten dat de uitkomst goed is. Daarom werd er niet gereageerd op fouten. Als het kind zich vergiste was de reactie eventueel: Kijk eens goed. Meestal kwam dan het goede antwoord en was de reactie van de rekenmeester: Zie je wel, ik wist wel dat je het wist.
• Om tellen tegen te gaan zijn bij sommige ballen soms kort te zien Probeer eerder te zijn dan de haas!. Ook werden de opgaven geflitst. Het kind werd ook verteld dat je de stippen kunt tellen maar de ogen kunnen veel beter en sneller tellen.
• Opgaven met een kleinere eerste term (2+7) worden vermeden omdat die vaak tellend uitgerekend worden.

4.1 Met kijkend optellen

De sommen zijn van het volgende type:

• Welke som is dit? Daarna eventueel pas: Wat is de uitkomst? (afb. 10)
  

  
  Niet Hoeveel is 5+4 maar: Welke som is dit?
  
  Afbeelding 10.

  
  

  
  Al inkleurend de getalstructuur zien ontstaan.
  
  Afbeelding 11.

• In afbeelding 12 schuift de rekenhaas in een animatie met zijn ogen de aantallen in de linker bak.
  
  

  
  De haas schuift 3 naar 4 en ziet ...
  
  Afbeelding 12.
  Start de video.

4.2 Met denkend optellen

Op een gegeven moment gaan slimmeriken zelf denkend optellen met aantalstructuren. Typerend is het antwoord van een aanvankelijk fanatieke vingerteller bij afbeelding 13. Eerst kwam het bedoelde antwoord op de vraag: Welke som is dit? namelijk: 4+3 en daarna kwam: ha, ha, het is ook 5+2. Op dat moment begreep deze fanatieke vingerteller dus dat optellen en rekenen niet volgordetellen is maar aantalstructuren begrijpen. Je kunt op verschillende manieren eenzelfde uitkomst krijgen.

Welke som is dit?

Afbeelding 13.

Op een gegeven moment kun je dan het concrete materiaal loslaten en overgaan op denkend optellen, bijvoorbeeld met sommentabellen (afb. 14en 15). De uitkomsten van de sommen in de tabel laten dan een regelmatigheid zien. Fanatieke tellers zien die regelmatigheid niet. Door stress is hun oogfixatieveld een tunnel geworden en hun werkgeheugen zit vol met de tellerrij. Die moet je die sommentabellen dus nog niet geven. Maar de kinderen die al wat sommen geautomatiseerd hebben, die hebben de uitkomst van de vorige som nog wel in hun geheugen of in hun oogfixatieveld. Dan krijg je op een gegeven moment te horen: Ha, ha, steeds gewoon één er bij. Je kunt dan afbreken maar kinderen vinden het leuk de hele tabel met de zelf gevonden truc af te maken. Je kunt dat zelfontdekkend leren noemen maar het is gewoon psychologisch uitgemillimeterd rekenonderwijs.

Denkend optellen onder 10 met een sommentabel met n+1

Afbeelding 14.
Print dit werkblad.

Denkend optellen onder 10 met een sommentabel met omdraaiers

Afbeelding 15.
Print dit werkblad.

4.3 Met cijfers optellen

De overgang van concreet materiaal naar abstracte cijfersymbolen blijkt erg lastig. Hier wordt die overgang gemaakt door het cijfer tegelijk, vlakbij en in dezelfde kleur als de ballen te tonen zoals in afbeelding 9.

5 Het effect van aantalbeelden herkennen

5.1 Door onderzoek

Is ook empirisch aangetoond dat aantalbeelden vingertellerij voorkomen? Deze meest gestelde vraag heeft meer antwoorden.

• Ten eerste blijkt het nogal moeilijk om met onderzoek op een wetenschappelijk verantwoorde wijze een antwoord te geven op vragen uit de praktijk. Dat geldt bijvoorbeeld voor de vraag of je reizigers de tijd ván vertrek moet tonen of de tijd tót vertrek (Verhoef, 2008). Dat geldt ook voor de nog steeds populaire vraag: Wat is de "beleving" van gebruikers (reizigers)? (Verhoef, 2011) Is er een psychologisch antwoord dan blijkt het moeilijk om dat antwoord geaccepteerd te krijgen. Men heeft eigenlijk al een (niet) psychologisch antwoord. Een psychologisch, dus een ander, antwoord is dan onwelgevallig.
• Volgens de onderzoeksmethodologie heb je nogal wat controlegroepen nodig, althans in de strenge jaren zestig. Volgens Campbell & Stanley (1963) zijn dat er 6. Dit zijn onder andere een groep voor methode A, methode B en een groep zonder methode. Dat is nodig om alternatieve verklaringen uit te sluiten. Dat betekent meer scholen. Ook betekent dat weer meer oncontroleerbare variatie onder andere door verschillen in de rekenmethode, de toepassing daarvan door de leerkracht, de populatie kinderen, wat er thuis gebeurt, wat er in de klas aan de muur hangt en wat daarmee gedaan wordt. Best lastig.
• Mij is overigens geen onderzoek bekent dat een positief effect van deze lijnmiddelen als telraam en getallenlijn aantoont op het automatiseren onder 10. Wel is er onderzoek dat aantoont dat dit niet het geval is. Op de vingers blijven tellen is nog steeds een probleem concluderen van den Berg en van Eerde in 1993. Ruim 10 jaar later dezelfde conclusie van Duverne et al. (2005). Leerlingen moeten aan het eind van groep 3 het optellen en aftrekken tot 10 hebben gememo­riseerd. stelt de PO raad ijskoud in 2009. Tien jaar later is de conclusie van Ruijssenaars et al (2017) dat dit voor veel kinderen nog niet gerealiseerd is. Ik vond rond 2024 dat de som 4+3 bij 'rekenzwakken' in groep 4 bij 85% een goed antwoord met een reactietijd van 8.6 sec.
• Meestal staan lijnmaterialen in de literatuur en onderzoek niet ter discussie. Ook worden lijnmaterialen dus niet vergeleken met andere methoden om te leren automatiseren, bijvoorbeeld met beeldmaterialen.
• Wel blijkt uit dat onderzoek dat het heel moeilijk is om in de praktijk effecten aan te tonen. Het onderzoek dat er is toont dat lijnmiddelen geen effect hebben (van den Berg & Van Eerde, 1993). Na zo'n onderzoek krijg je dan weer een wetenschappelijke wellis nietes discussie (Van Erp & van Parreren, 1991).

Tot zover onderzoeksmethodologie. Nu hoe onderzoek in de praktijk gaat.

• Een geluk is dat apen helemaal niet kúnnen tellen. Ook hangen er in het oerwoud en de dierentuin geen getallenlijnen en telramen aan de bomen. Zoiets geldt ook voor Aboriginal kinderen die nog in het oerwoud leven. Aboriginals tellen maar tot 4. Wat wil je als onderzoeker nog meer? Het blijkt dat Aboriginal kinderen wél hoeveelheden tot 10 kunnen onderscheiden. Apen trouwens ook. Dat is dus een flinke meevaller.
• Maar de SLO (2020) komt dan weer met een flinke onderzoekstechnische tegenvaller. De SLO waarschuwt er zeer terecht voor dat kinderen gemakkelijk terugvallen op tellen. Na de aantalbeeldlessen kunnen de kinderen vervolgens in de klas, bij de bijles of thuis, weer gewoon met telraam of getallenlijn (moeten) rekenen. Het kan ook zijn omdat er druk is een góéd antwoord te geven. Ja dan ga je tellen. Met name bij product- en toetsgericht onderwijs natuurlijk.
• Het gebruikelijke onderwijsmateriaal en de leerkrachten hebben inmiddels een praktische en wetenschappelijke traditie van 30 jaar. Experimenteel leermateriaal is veelal in enkele maanden vaak nog en passant ontwikkeld. Je krijgt dan toch wel een oneerlijke vergelijking.
• Lastig is ook het tijdstip in het schooljaar. Wat is het verschil tussen onderzoek aan het eind van groep 3 en het begin van groep 4? Dat maakt nogal wat uit zullen we nog zien.
• Tot slot is het moeilijk scholen en ouders zo ver te krijgen dat hun kind in het belang van de wetenschap niet geleerd wordt te tellen.

Dus: Je zult het dus vooral met kennis van zaken moeten doen want empirische vergelijken van lijnmaterialen met aantal beelden is eigenlijk onmogelijk.

5.2 Door empirisch onderzoek

Ik ben met mijn psychologisch uitgemillimeterde ballen mee gaan lopen in de optocht hulpverleners voor 'rekenzwakken'. En wat bleek? Na maximaal 3 uurtjes balles, gaven die 26 'rekenzwakken' uit groep 3 en 4 19% meer goede antwoorden met 44% minder reactietijd en 40% minder weet niets. Dus zonder telraam en getallenlijn tijdens de ballessen. ( noot 2).

Dat kan natuurlijk toeval zijn. Daarom testen we de ballen met de moeilijkste som onder 10: 4+3/3+4. Bij moeilijke sommen zijn de leereffecten beter te zien dan bij eenvoudige sommen.

5.3 Door ijskoud verder kijken

Opmerkelijk is dat groep 3 meer profiteert van de ballessen dan groep 4. Groep 3 start lager dan groep 4 en eindigt hoger dan groep 4. Dat geldt voor de drie onafhankelijke maten aantal goed, reactietijd en weet niets. Hoe kan dat nu weer? Je zou verwachten dat jongere kinderen langzamer en minder goed sommen met alleen cijfers kunnen dan kinderen die een jaar rekenonderwijs verder zijn. Echter. Kinderen in groep 4 denken nog intuïtief en zijn nog sterk afhankelijk van de waarneming zoals we al enige tijd weten (Mussen et al. 1970, Piaget, 1969). Het zou dus geen toeval kunnen zijn dat groep 3 meer profiteert van de visueel uitgemilimeterde ballen dan groep 4. Een nadeel van groep 4 is dat zij na een jaar blokjes, telraam en getallenlijn de motorische telreflex ingesleten hebben. Reflexen zijn er moeilijk uit te krijgen. Daar komt nog bij dat de kinderen dat vingertellen snel kunnen en andere methoden daar niet meer tegenop kunnen. Nu kun je gaan wellis nietessen en zeggen: Ja maar de septembergroep 3 heeft in de klas ook gerekend met telraam en getallenlijn. Dat telt ook mee. Maar betekent dat dan dat ze daardoor bij de natoets beter presteren? Of betekent dat dan dat ze bij de natoets minder geautomatiseerd hebben omdat telraam en getallenijn juist niet leidt tot automatiseren maar tot tellen? Immers de septembergroep 3 met balles heeft een kortere reactietijd en dus meer geautomatiseerd dan groep 4 zonder balles.

Dat kan natuurlijk toeval zijn. Alhoewel als visueel uitgemillimeterde ballen zo goed aansluiten bij de sterker visueel ingestelde kinderen van groep 3 dan zou het effect inderdaad ook groter moeten zijn aan het begin van groep 3. De volgende tabel toont of dat zo is.

5.4 Door een mysterie zien

Het wordt nog spannender. Als groep 3 na zo'n 3 uur balles, vooral al voor de herfst, beter rekent dan groep 4 na 1 jaar gebruikelijk rekenonderwijs dan kun je gaan nietes wellissen over de vraag of die resultaten geen toeval zijn. Maar dan ontloop je sluw de vraag die opkomt als het geen toeval is: Wat heeft groep 4 zonder balles het afgelopen jaar tijdens de rekenles zitten doen? En ook de volgende vraag: Misschien zijn het niet de kinderen 'rekenzwak' maar .... ( noot 3). Maar ja, dat zijn dan weer van die onwelgevallige psychologische vragen. Je kunt ook gewoon praktisch blijven: Als je lijnen met getallen wilt vervangen door bakken met ballen dan moet je ze wel hebben.

Noten

Noot 1:
Neen de blauwe lijn is niet langer.

Noot 2:
De kinderen De resultaten komen van individuele bijlessen voor 'rekenzwakken' kinderen van twee Utrechtse scholen gedurende twee leerjaren (groep3 en 4). Bij de testen antwoordt het kind mondeling en de proefleider typt in. De 'weet niet's zitten niet in het percentage goed. De score 100% kan zijn alle sommen goed of 1 som goed en de rest weet niet. Ook de reactietijd is alleen berekend over de opgaven met een goed of fout antwoord. Percentage goed, weet niets en reactietijd zijn dus onafhankelijke maten.

Noot 3:
Voor alle duidelijkheid, het antwoord op die vraag is niet: "De leerkrachten zijn rekenzwak."
 

Literatuur

Berg, W. van den & Eerde, H.A.A. van, (1993). De veerkracht van het rekenrek. Tijdschrift voor nascholing van het reken-wiskundeonderwijs.

Campbell, D. T., & Stanley, J.C. (1963). Experimental and quasi-experimental designs for research on teaching. In: Gage, Handbook of Research on Teaching.

Carterette, E.C. & Friedman, M.P. (1978). Handbook of Perception. Volume VIII Perceptual Coding, New York etc., Academic Press.

Clements, D.H. (1999). Subitizing: What Is It? Why Teach It? Teaching Children Mathematics, March 1999. https://www.researchgate.net/publication/258933161_Subitizing_What_Is_It_Why_Teach_It

Erp, J.W.M. van & C.F. van Parreren, (1991). Een praktijkdienend onderzoek. Tijdschrift voor orthopedagogiek, vol. 30, pag. 305-308.

Gage, N.L. (ed.), (1963). Handbook of Research on Teaching. Rand cNally

Jevons, W.S. (1871). The power of numerical discrimination. Nature, 3, p. 281-282

Luit, J.E.H. van & W. Compagie-Rietberg (1991). Afrekenen met problemen bij optellen en aftrekken: dankzij of ondanks de rekenman? Tijdschrift voor orthopedagogiek, XXX (1991). Pag. 32-44.

Marks, L.E. (1978). Multimodal perception. In: Carterette, & Friedman Handbook of Perception Volume VIII. Pag 321-339.

Mussen, P.H., Conger, J.J. & Kagan, J., (1970). Child Development and Personality. New York, etc.: Harper International.

Nieder, (2019). A Brain for Numbers. The Biology of the Number instinct. Cambridge: The MIT Press.

Piaget, J. (1969). Zes psychologische studies. Deventer: Van Loghum Slaterus.

SLO, (2020). Digilijn rekenen. Leerlijnen rekenen groep 1 t/m 6 met getalbegripo als centrale lijn. Enschede: Nationaal expertisecentrum voor leerplanontwikkeling.

Treffers, A. (2015). Weg van het cijferen. Rekenmethodes vanaf 1800 tot heden. Utrecht: Universiteit Utrecht en Reni Casoli.

Verhoef, L.W.M. (2008). Vertrektijd is passé, leve de afteltijd. OV-magazine, 2008, no 3, juli, pag. 26-27.

Verhoef, L.W.M. (2011). Passenger reactions and passenger actions: improving public transport. 6th IIID Traffic & Transport 2011 conference. Traffic, Transport and Social Media, 8 - 9 September 2011, Vienna, Austria

Wege, T.E., Trezise, K. & Inglis, M. (2022). Finding the subitizing in groupitizing: Evidence for parallel subitizing of dots and groups in grouped arrays. Psychon Bull Rev 29, 476-484. https://doi.org/10.3758/s13423-021-02015-7