De aantalbeelden uit het verdomhoekje

Wat is dat toch met dat vingertellen? Elke leerkracht van groep 4 die ik daar om vroeg, kon mij graag een vijftal fanatieke vingertellers leveren.

• Kinderen leren zo'n 5 nieuwe woorden per dag. Dus 20 sommetjes koppelen aan 20 systematische uitkomsten zou in pakweg 5 schooldagen bekeken moeten zijn. Het onderwijs gebruikt voor het automatiseren van sommen tot 10 vooral lijnmaterialen als het telraam en de getallenlijn. Passen die lijnmaterialen bij de getallen, de vingers, de ogen, het werkgeheugen en het denken? In het eerste artikel een antwoord op die vraag.

• Psychologisch gezien lijkt het lezen op het rekenen. Maar leren lezen is woordbeelden leren herkennen en leren rekenen is vooral motorisch tellen. In het tweede artikel dus de vraag of kinderen met een aantalbeeld kunnen ontsnappen aan de vingertellerij.

• De getallenlijn is een enkele lijn. Het 2x(5+5)telraam, de vingerbeelden, de eierdoos en kwadraatbeelden zijn twee lijnen. Dat is meer een '2d-beeld' dan een enkele lijn. In het derde artikel is de vraag: kun je met dubbele lijnen beter leren automatiseren dan met enkele lijnen?

• 'Echte' 2d-aantal-beelden voor het rekenen zijn: taartpunten, dobbelstenen en het Rekenmannetje. Hoe passen "echte" aantalbeelden bij de getallen en de psychologie? blijkt uit dit artikel.

• En dan tot slot van deze serie over automatiseren: Kun je met psychologisch uitgemillimeterde aantalbeelden de vingertellerrij de kop indrukken en voorkomen?

Aantalbeelden voor het automatiseren van sommen onder 10 zijn bijvoorbeeld:

• Dobbelstenen.
• Cirkelpunten.
• Het rekenmannetje.

1 Dobbelstenen

Dobbelstenen nemen met het beeld van 5 echt afstand van 1d-lijnen en tonen een 'echt' 2d-aantalbeeld. Zijn dobbelstenen dan misschien een oplossing voor de vingertellerrij?

1.1 De psychologie

Dobbelsteen 4 is een vierkant en geen lijn. Het is dus een 2d-beeld. Het aantal 4 wordt altijd direct herkend (subitized, ( noot 1) Hoe je het aantal ook toont. Tweetallen en viertallen zijn nogal dominant aanwezig in de realiteit van het kind. Zo zijn er in het gezin en in de familie veel dubbelen en viertallen van personen. De kinderen tellen dus ook de onzichtbare wielen. Zeker wanneer het beeld een vierkant toont.

• In de kindrealiteit is tweeling is immers duidelijk en concreet: twee precies dezelfde. Dat is bovendien de essentie van aantalgetal. De stap naar vierling en drieling is dan klein. Ook vierlingen zijn ruimschoots aanwezig in de kindrealiteit in de vorm van lichaamsdelen en poten van tafels, stoelen, knuffels en dieren. Toon je in september aan groep 3 de zijkant van een auto en vraag je hoeveel wielen die heeft dan krijg je zonder aarzelen en ook zonder tellen het juiste antwoord. Toon je de zijkant van een voertuig met 4, 6 of 8 wielen dan geeft 70% van groep drie het juiste aantal wielen.
• Inmiddels heb je dan nog maar een kleine stap naar die ingewikkelde 10: tienling. Een tienling is gewoon een tweeling maar niet 2 maar 10. Je kunt dat concreet laten zien bij varkens. Alles bij elkaar is het woord tienling dan concreter dan de woorden tiental en tienvoud. Woorden die ik kinderen overigens vrijwel nooit heb horen zeggen.
• In de kindrealiteit heten die dubbele structuren overigens lingen zoals bij tweelingen. Het achtervoegsel ling is voor het rekenen overigens zeer interessant. "-ling" is namelijk de essentie van aantal: een aantal identieke elementen. Ook kun je met ling concreet verwoorden wat vermenigvuldigen nu eigenlijk is. Je memoriseert dan niet 2x3= maar je concretiseert in woord en overigens ook in beeld Hoeveel kinderen heb je als je twee 3-lingen hebt? Je benoemt dan de vermenigvuldiger en de vermenigvuldigd concreet.

1.2 Het beeld voor 5

Maar voor lijndenkende ontwerpers is er na 4 niets aan de hand: gewoon een verder. Het is dus vanzelfsprekend dat het vijfde element in de leesrichting dus rechts naast het vierde element komt zoals bij telramen en de getallenlijn. Maar de waarnemingspsychologische problemen beginnen echter bij vijf. Bij een lijn van 5 kan het aantal 5 niet meer direct herkend worden. Bovendien wijkt een lijn-aantalbeeld van 5 te weinig af van het aantalbeeld 6. Het concrete áántal is dan weg en de rij van 5 is een abstract symbool geworden: meer dan 4. Getalstructuren als 3+2 zijn dan niet meer zichtbaar ( noot 2)

Musici weten ook dat 5 een lastige is. Ze beginnen liever niet aan een 5-kwartsmaat. Doen ze het toch dan verdelen ze de 5 tellen stiekem toch weer in twee delen: POM pom POM pom pom.

In de Middeleeuwen wist met wel raad met die waarnemingspsychologische problemen van vijf. Een praktijk van jarenlang waarnemen van het aantal 5 in slechte lichtomstandigheden, met stress en met verminderde mentale vermogens leerde dat je de 5de; stip niet náást de 4de; moet zetten maar moet opsluiten in het vierkant van de stippen 1, 2, 3 en 4. Dan is de 5de stip het oogfixatiepunt en dan heeft hij een forse afwijking van het beeld voor 4. Je kunt dan niet niet zien dat de dobbelsteen 5 toont. Bovendien is het oppervlak dat het 5-beeld nodig heeft klein. Ook de herbergier deed zo iets toen. Hij turft bij 5 niet door in de leesrichting naar rechts maar turft de 4 door (afb. 1). Wat dat betreft kunnen de meeste 'rekenzwakken' zo de kroeg in. Dobbelsteen 5 herkent 64% van groep 3 en 4 binnen bruto 2,2 seconden. Dobbelsteen 5 is dus wat de ogen betreft prima.

Turf'beeld' voor het aantal 22

Afbeelding 1.

1.3 Het beeld voor 6

Dobbelsteen 6 geeft ook een mooi beeld dat goed in het oogfixatieveld past ( noot 3). Maar dat beeld is niet vanuit het beeld van 5 ontworpen. Met dobbelsteen 6 zie je niet een 5+1-beeld maar een 2x3-beeld. Daar komt nog bij dat de telwoorden niets zeggen over de volgorde van de getallen en het aantal. Een onomatopee doet dat wel. Een koekoek zegt koekoek. Ook bij morsetekens heeft 1 een punt en 2 twee punten. Je hoort aan vier niet dat 4 voor 5 komt en een minder is dan 5. Daar komt nog bij dat de vorm van gesproken en geschreven telwoorden niet overeenstemmen met de hoeveelheid. Zo zijn de telwoorden voor 3 en 4 even lang. Welk beeld moet je dan nemen voor het aantal 6.Afbeelding 2 is misschien een goede keuze. Dat beeld is symmetrisch. Bovendien kun je dan goed verder met 7 en 8. Je blijft dan dicht bij 5 en ver van 10. (Fayol & Seron, 2005). Dat maakt het belangrijker dat hoeveelheidsverschillen van getalbeelden wel goed zichtaar zijn.

1.4 Het beeld voor 7 en 8

Nu de beelden voor 6, 7, 8 en 9 nog. Boven 5 houdt prima op met de realistische dobbelstenen. Dan wordt het moeilijker een directe visuele interpretatie te ontwikkelen voor de aantalbeelden waar precies de problemen liggen. Het kind kan dan niet anders doen dan gewoon tellen. Het effect van dit soort psychologisch gemillimeter wordt onderschat. Dit blijkt bijvoorbeeld uit het verschil tussen afbeelding 2 en afbeelding 3. Met fysieke dobbelstenen is het lastiger om structuren met kleuren aan te brengen. Onder andere omdat één bepaald aantal verschillende structuren kan hebben.

• Je kunt met dobbelstenen voor hetzelfde aantal verschillende visuele beelden krijgen: 5+1=6 en 3+3 is ook 6 maar wel een ander beeld. Als je woorden steeds met andere letters schrijft dan schiet het leren lezen niet op.
• Ook het rekenkundige en psychologisch cruciale aantal 10 tonen dobbelstenen op verschillende wijzen.
• Wanneer je twee dobbelstenen gooit dan is er de afstand tussen de twee aantallen. Vooral als je motorisch nog niet zo handig bent en de ene dobbelsteen op tafel ligt en de andere op de grond, ja dan heb je geen aantalstructuur in het oogfixatieveld, niet in het werkgeheugen en dus ook niet in de hersenen. Er is geen visueel aantalbeeld. Je moet dan wel tellen.
• Bovendien bepalen dan de dobbelstenen en niet jij het beeld dat het kind ziet.
• De stippen op een dobbelsteen zijn verder meestal klein waardoor de waarneembaarheid van het aantalbeeld van stippen kleiner is dan de waarneembaarheid van grote stippen. Die vermindering is er vooral als de afstand tot het oogfixatiepunt groter wordt.

Het beeld van dobbelsteen 5 is zeker met wat grotere stippen dus prima.

Dit betekent ook dat je de aantallen 7, 8 en 9 aanvankelijk vanuit het bekende aantalbeeld voor 5 aangeboden aan moet bieden. Dus het aantalbeeld voor 7 eerst zoals in 2. Afbeelding 2 toont de structuur 3+4=7 maar ook de structuur 7=5+2. Vraag je kinderen welke som 2 toont dan krijg je meestal het antwoord dat je verwacht namelijk 4+3. Maar op een gegeven moment krijg je als antwoord: Ha, ha, het is ook 5+2. Dit alles krijg je niet bij afbeelding 3 waarin het beeld van 5 niet goed te zien is.

1.5 Het beeld voor 9

Het aantal 9 is dus een combinatie van de goed herkenbare aantallen 5 en 4. Maar het aantal is ook herkenbaar vanuit 10. Dus: 9=10-1=5+4 (afbeelding 2) en wel concreet zichtbaar als een bijna volle bak.

1.6 Het beeld voor 10

Dobbelstenen tonen alleen de stippen die tellen. De lege plaatsen van de andere stippen tot 10 zijn niet gemarkeerd zoals bij eierdozen. Daardoor tonen dobbelstenen de relatie met de beelden voor 5 en 10 niet. Juist dat zijn de meest cruciale aantallen bij het rekenen onder 10 (5+4, 4+5, 6+3, 3+6). De dobbelstenen tonen niet dat 6+3=10-1.

De nadelen van harde realistische dobbelstenen kun je verminderen met dobbelsteenachtige afbeeldingen op papier of scherm. Je kunt dan gemakkelijker aan rekenkundige en psychologische voorwaarden voldoen. Op een scherm kun je stippen bovendien plaatsen, verschuiven en (ver)kleuren, precies zoals de getallen en de psychologie dat willen. Er vallen dan ook geen delen van het aantal op de grond en dus buiten het oogfixatieveld. Is er misschien iets anders voor de getallen tussen 5 en 10?

2 Cirkelpunten

Een andere mogelijkheid om aantallen tot 10 te tonen zijn cirkelpunten.

2.1 De getallen

Een cirkel met 12 punten toont veel aantalstructuren (3+3,6+6, 6+3, 3+3+3+3 en ook wel 3+1 en 6+1, afb. 2). Aftrekopgaven zitten er daardoor dus automatisch ook in. Je hebt het dan ook niet meer over optel- en aftreksommen maar over getalstructuren: 6+3=9 en dus 9-3=6 en eventueel 3+3+3=9. Er is geen verwarring tussen tellen (volgordegetal) en het ontwikkelen van een directe visuele interpretatie (aantalgetal) zoals bij het telraam en de gebruikelijke getallenlijn. Je laat de kinderen de punten natuurlijk niet tellen maar laat ze de getalsrelaties in de punten inkleuren. Ze zien dan geleidelijk aan zonder tellen de getalstructuur ontstaan. De taartpunten zijn verder stiekem de eerste snippers naar het vermenigvuldigen, de lastige breuken en het analoge klokkijken.

Je moet bij die taartpunten wel op het tellen letten. Zet niet aan tot tellen. Vraag niet, of eigenlijk nooit: Hoeveel ... want dan gaat het kind tellen. Zelfs wanneer het kind weet dat het getoonde beeld dat van 5 is. Voor het kind betekent Hoeveel is namelijk niet Wat is het aantal? ( noot 4)

Een visueel beeld met de aantalstructuren van 12

Afbeelding 2.

2.2 De psychologie

De cirkelpunten tonen aantallen niet met symbolen zoals een getallenlijn dat doet met cijfers maar met concrete visueel direct interpreteerbare aantalstructuren. Het visuele oppervlak correspondeert met de hoeveelheid. Het cijfer 2 (op de getallenlijn) is niet 2 maal zo groot als het cijfer 1 maar twee cirkelpunten zijn visueel wel 2 maal zo groot als 1 cirkelpunt. De cirkelpunten tonen dus niet halfslachtig volgorde- of aantalgetallen. De 12 punten vullen het subitizing gat dat na 4 ontstaat. De aantallen van 5 tot en met 12 punten kan het oog dan in een oogopslag van 233 milliseconden herkennen. Tóch nog subitizen dus.

• Cirkelpunten passen perfect in het oogfixatieveld. Daardoor is er geen werkgeheugenbelasting en directe visuele interpretatie van maar duidelijk aantalgetallen. het aantal is onontkoombaar.
• Verder is het kritische detail van de cirkelpunten groter dan bij stippen van dobbelstenen en cijfers op de getallenlijn. Daardoor is bijvoorbeeld de leesafstand groter en kan het oog ook redelijk zien wat er net buiten het oogfixatieveld staat. De leesafstand van deze tekst ligt onder 1 meter en de leesafstand van het aantal punten van afbeelding 2 ligt boven de 2 meter. Ook zijn daardoor complexere getalstructuren mogelijk. Met 2 cirkels zou je aantallen tot 24 als één beeld in het oogfixatieveld kunnen tonen. Kinderen bij wie slecht zicht nog niet ontdekt is kunnen met cirkelpunten op het digiboard achter in de klas gewoon zonder bril nog meekomen.
• Combinaties van cirkelpunten leveren binnen het oogfixatieveld markante beelden op zoals een hele, halve of kwart cirkel. Markant en een afwijking, dat hebben de evolutie en dus de ogen graag.
• De punten nodigen daardoor ook minder uit tot tellen dan een lijn.
• De relatie met de concrete aantallen en de abstracte cijfersymbolen en de formulesom kun je op een gegeven moment stiekem leggen zoals in afbeelding 3.

Gezien de voordelen voor de aantalstructuren tussen 5 en 12 kun je dat nadeel van 10 in groep 2 wel even op de koop toe nemen.

Koppeling van aantalpunten aan cijfer: 6+6

Afbeelding 3.

2.3 De woorden

Je kunt de aantallen cirkelpunten eenvoudig concretiseren als taartpunten. Je vertelt Sesamstraat-achtige verhalen over een taartenbakker. Die heeft natuurlijk géén 'realistisch' aantal kinderen maar een rekenkundig gezin: 12 kinderen, 6 meisjes en 6 jongens. Verder natuurlijk 4 drielingen zoals in afbeelding 2. Gebruik concrete woorden:

• 0: Nul is natuurlijk een lege (taart)schaal.
  1: Eén taartpunt.
• 3: De 3-lingen. Er zijn er 4. De grote/kleine meisjes/jongens. Kom eventueel met halven en kwarten. Van groep 3 en 4 kent 81% die woorden. Dat is wat onhandig want voor je het weet zeg je iets als 4 is de helft van 8.
• 6: Alle meisjes/ jongens. Eventueel de helft van de kinderen.
• 7: De kinderwagen voor in de zon.
  9: De kinderwagen in de regen (afb. 4).
  11: Bijna alle kinderen en bijna een hele taart.
  12: Alle kinderen en de hele taart.
  

  
  Een concreet aantalbeeld voor 9: kinderwagen in de regen.
  
  Afbeelding 4.

  Psychologisch uitgemillimeterde beelden als taartpunten bevallen de getallen en de ogen dus prima. Maar een nadeel van de taartpunten is dat je de ware aard van 10 niet toont.
  

  3 Het Rekenmannetje

  De taartpunten zwijgen tientalligheid dood. Die 10 is psychologisch gezien misschien wel heel verstandig, zelfs in groep 3. Kinderen in groep 4 denken nog intuïtief en zijn nog sterk afhankelijk van de waarneming zoals we al enige tijd weten (Mussen et al. 1970, Piaget, 1969). Die 10 is dus een hele uitdaging. Maar goed, hij staat op het programma van groep 3 dus hij moet. Misschien wel met het Rekenmannetje van 10?

  3.1 De getallen

  Het Rekenmannetje zwijgt 10 niet dood (afb. 5). Hij is tien. Hij zou het Tienmannetje moeten heten. Het Rekenmannetje is ontwikkeld door Van Erp & Huvenaars (1989). Wat de getallen betreft is opmerkelijk dat de Rekenman een 4+3+3 structuur heeft die pregnanter en zinvoller zou zijn (Van Erp & van Parreren, 1991). Hij sluit dus niet aan bij de 5+5=10 structuur.
  

  
  
  Afbeelding 5.Het rekenmannetje
  
  Afbeelding 6.

  3.2 De psychologie

  Het Rekenmannetje heeft een duidelijke cognitief psychologische fundering. De focus ligt niet op motorich tellen maar op waarnemen (Gestalt, een beeld waarnemen als geheel, afwijkingen voor aantallen onder 10). Zo is het beeld ook compacter dan lijnbeelden en past het beeld redelijk in het oogfixatieveld. De aantalbeelden zijn markanter dan die van de kwadraatbeelden. Alleen de anatomie van de Rekenman klopt niet helemaal. Zo heeft hij geen armen en is eigenlijk alleen aan het gezicht te zien dat het man, nou ja, een mens is. De Rekenman verbeeldt alles bijelkaar meer de anatomie van een man dan de anatomie van getallen. Zo sluit de 4-3-3 structuur van de Rekenman niet aan bij de rekenkundige en psychologisch gewenste 5+5 structuur van de getallen. Hij sluit ook niet aan bij de pregnante 5+5 structuur van de vingers. Er zijn ook nog wel wat ontwerppsychologische opmerkingen. De Rekenman is een metafoor uit de realiteit. De realiteit is riskant zoals hier ook wel weer blijkt.
  

  3.3 De woorden

  Concrete verwoordingen van aantallen kan wel met de Rekenman maar worden ook wel een beetje een anatomische les met telwoorden als "de kale, de baardleze, de eenarmige, de eenoorige, etc.". En het belangrijkste aantal "5", hoe noem je dat? Een "één-oor-baard-been-man"? Verder zou de Rekenman beter de "Tienman" kunnen heten.

  3.4 De kinderen

  De 4+3+3 structuur van de rekenman sluit niet aan bij de 5+5 vingers die vaak gebruikt worden om te rekenen. Sommen met 5 en 4 gaan in groep 3 en 4 in 88% van de gevallen goed terwijl dat percentage voor sommen met 4 en 3 17% minder is (5+4: 64 opgaven, 33 kinderen, 4+3: 44 opgaven, 35 kinderen).
  
  Gelukkig is het effect van de Rekenman op het rekenen onderzocht. Luit & Compagie-Rietberg (1991) vinden een positief effect van het Rekenmannetje op het rekenen. Maar het was enig effect dat zichtbaar werd na veel statistische berekeningen. De onderzoekers concluderen ook wel dat de kinderen veel moeite hadden zich het beeld van de Rekenman eigen te maken. Teken de Rekenman zelf maar eens na zonder eerst nog even stiekem naar afbeelding 6 te kijken. Al met al vragen de onderzoekers zich af of de Rekenman wel geschikt is voor remediëring. Nou ja 'gelukkig'. Gezegd moet worden dat dit soort effectonderzoek in de praktijk wel heel moeilijk, misschien zelfs wel onmogelijk volgens de regels uit te voeren. Het resultaat van het onderzoek is dan niet inzicht maar een wellis-nietis-discussie. Dat is hier dus ook het geval (Van Erp & van Parreren, 1991).
  
  

  4 Eisen voor automatiseringsmateriaal

  We hebben nu enkele aantalbeelden voor het automatiseren onder 10 getoetst aan de eisen van de getallen en van de ontwerppsychologie. Afbeelding 7 toont een overzicht. De besproken aantalbeelden voldoen dus niet aan alle eisen. Dat dus goed nieuws. Kunnen aantalbeelden uit het verdomhoekje gehaald worden als je de aantalbeelden ontwerppsychologisch uitgemillimetert? Het antwoord daarop komt in: Lijnen met getallen of bakken met ballen
  

  Programma van eisen voor automatiseringsmateriaal
  
  
  
  Afbeelding 7.

  Eis:	Toelichting:
  Er moet een beeld van nul zijn.	Niets is geen zichtbaar beeld van nul. Een lege staaf op een telraam of een lege bak is dat wel.
  Geen sym- bolen.	Symbolen zoals cijfers tonen geen aantal(structuur) maar zijn abstracties van aantallen. Een aantal stippen of kralen wel.
  Geen beelden van objecten uit de realiteit.	Realistische objecten kunnen visueel, conceptueel en in de bewoording niet in overeenstemming zijn met de eisen van de psychologie of de getallen
  5 moet een markant dominant beeld zijn.	Andere aantallen moeten daar markant mee opgebouwd kunnen worden. Een rij van 5 is geen dominant beeld. Met dobbelsteen 5 kan dat wel.
  10 moet een markant en dominante beeld zijn van 2x het beeld van 5.	De basis van het getallensysteem is 10.
  Alle elementen moeten binnen het oogfixatieveld vallen.	Cirkelvormige beelden hebben de beste pasvorm. Lijnen passen niet goed in het oogfixatieveld.
  De beelden moeten concreet verwoord kunnen worden.	Het aantalbeeld is niet een concreet object maar doet daar wel een beetje aan denken. Dit is lastig bij lijnen als vingers, telraam en getallenlijn. Met taartpunten kan dat prima.
  Het werkgeheugen mag niet belast worden bij de hoeveelheidsbepaling.	Dat is te realiseren door de noodzakelijke informatie in het oogfixatieveld te plaatsen, met markante en concreet verwoordbare beelden. Bij lijnen is dat niet mogelijk.

  
  
  

  Toetsing van rekenmaterialen
  
  

  
  
  

  Noten

  
  
  Noot 1:
  Subitizing is het direct herkennen van aantallen tot en met 5. Boven 4 is dat moeilijk. Dit herkennen gaat zonder te tellen en zonder te kunnen tellen.
  
  Noot 2:
  ANS: Approximate Number System: "een, twee, drie, veel.".
  
  Noot 3:
  Een veld van ongeveer 15 graden rond het oogfixtiepunt met veel receptoren. Daarmee kan scherp waargenomen en gelezen worden.
  
  Noot 4:
  Toon een kind dobbelsteen 5 en vraag: "Hoeveel stippen zijn dat?" Kind telt en zegt: "5" Doe dat ook met dobbelsteen 4. Kind telt en zegt "4". Nog een keer dobbelsteen 5. Kind telt en zegt "5" Nog een keer dobbelsteen 4. etc. Dan toon je ineens weer dobbelsteen 5 maar bedekt die onmiddellijk weer. Kind zegt onmiddellijk zonder tellen: "5" met een blik van: "Weet je dat nu nog niet?"
  
  

  Literatuur

  Campbell, J. (2005). Handbook of mathematical cognition. New York and Hove: Psychological Press.

  Erp, J.W.M. van & Huvenaars, A. (1989). Het rekenmannetje: afrekenen met problemen bij optellen en aftrekken. Groningen: Wolters-Noordhoff.

  Erp, J.W.M. van & C.F. van Parreren (1991). Een praktijkdienend onderzoek. Tijdschrift voor Orthopedagogiek, vol. 30, pag. 305-308.

  Fayol, M. & Seron, X. (2005). About Numerical Representations. Insights from Neuropsychological, Experimental, and Developmental Studies. In: Campbell: Handbook of mathematical cognition.

  Luit, J.E.H. van & W. Compagie-Rietberg (1991). Afrekenen met problemen bij optellen en aftrekken: dankzij of ondanks de rekenman? Tijdschrift voor orthopedagogiek, XXX (1991). Pag. 32-44.

  Mussen, P.H., Conger, J.J. & Kagan, J., (1970). Child Development and Personality. New York, etc.: Harper International. Pag. 305.

  Piaget, J. (1969). Zes psychologische studies. Deventer: Van Loghum Slaterus.