Wat leert het lezen het rekenen?

Wat is dat toch met dat vingertellen? Elke leerkracht van groep 4 die ik daar om vroeg, kon mij graag een vijftal fanatieke vingertellers leveren.

• Kinderen leren zo'n 5 nieuwe woorden per dag. Dus 20 sommetjes koppelen aan 20 systematische uitkomsten zou in pakweg 5 schooldagen bekeken moeten zijn. Het onderwijs gebruikt voor het automatiseren van sommen tot 10 vooral lijnmaterialen als het telraam en de getallenlijn. Passen die lijnmaterialen bij de getallen, de vingers, de ogen, het werkgeheugen en het denken? In het eerste artikel een antwoord op die vraag.

• Psychologisch gezien lijkt het lezen op het rekenen. Maar leren lezen is woordbeelden leren herkennen en leren rekenen is vooral motorisch tellen. In dit tweede artikel dus de vraag of kinderen met een aantalbeeld kunnen ontsnappen aan de vingertellerij.

• De getallenlijn is een enkele lijn. Het 2x(5+5)telraam, de vingerbeelden, de eierdoos en kwadraatbeelden zijn twee lijnen. Dat is meer een '2d-beeld' dan een enkele lijn. In het derde artikel is de vraag: kun je met dubbele lijnen beter leren automatiseren dan met enkele lijnen?

• 'Echte' 2d-aantal-beelden voor het rekenen zijn: taartpunten, dobbelstenen en het Rekenmannetje. Hoe passen "echte" aantalbeelden bij de getallen en de psychologie?

• En dan tot slot van deze serie over automatiseren: Kun je met psychologisch uitgemillimeterde aantalbeelden de vingertellerrij de kop indrukken en voorkomen?

1 Het verschil tussen lezen en rekenen

Psychologisch gezien verschilt het leren lezen en het automatiseren van sommen tot 10 niet zo veel. Misschien kan een psychologische vergelijking tussen lezen en rekenen verduidelijken waarom kinderen hardnekkig op hun vingers blijven tellen.

2 Het aantal tekens

Het alfabet heeft 26 letters. Verder nog wat accenten en dubbelletters. Die letters zijn soms visueel en auditief moeilijk uit elkaar te houden. De schrijfwijze van één letter kan meer varianten hebben (hoofd- en kleine letters, druk- en schrijfletters). Het rekenen heeft daarentegen 10 cijfers en nog wat tekens voor operaties, met name voor + en =. De betekenis van die tekens en hun klank is eenduidig. Er zijn geen varianten. Rekenen is wat de tekens betreft dus gemakkelijker dan lezen.

2.1 Het aantal regels

Hoeveel regels zijn er bij het leren lezen? We tellen even volgens het natuurlijke APS (Approximate Number System): Een, twee, drie, veel. Het tellen van de rekenregels kan ook met APS. Ten eerste heb je volgordegetallen. Bij een rij volgordegetallen is het volgende getal iets meer dan het vorige getal. Voetbalshirtje 3 hangt verder dan shirtje 2. In shirtje 3 zitten niet drie voetballers. Andere woorden zijn ordinaliteit, seriatie en n+iets. Ten tweede heb je het aantalgetal. Bij een rij aantalgetallen is het volgende getal precies één meer dan het vorige getal. 1+2 is dus precies 3. Score je na 1-0 nog een doelpunt dan ben je niet tweede in de ranglijst van de competitie maar dan is je aantal doelpunten 2. Andere woorden zijn kardinaliteit en n+1. Dat zijn onder de 10 eigenlijk wel alle regels. De eventuele rest vloeit daar logisch uit voort. Wat het aantal regels betreft, is rekenen is dus gemakkelijker dan het lezen.

2.2 Het aantal woorden

In woorden zit niet zo veel systematiek, er zijn veel uitzonderingen en synoniemen die minimaal in betekenis verschillen (afb. 1). Maar dat koppelen van een woord aan zijn betekenis gaat wel moeiteloos en grotendeels zonder expliciet onderwijs. Een tweede moedertaal erbij? Geen probleem (Koenen, 2020). Kinderen leren zo'n 5 woorden per dag ( noot 1) Zevenjarigen begrijpen zo'n 3000 woorden. Die 21 te koppelen sommen onder 10 zouden dan toch geen probleem moeten zijn zou je zeggen. Met minder te leren koppelingen is het automatiseren van sommen is dus eenvoudiger dan het leren van woorden. Dat automatiseren onder de 10 zou dus in vijf schooldagen bekeken moeten zijn.

Meer woorden te leren als er synoniemen zijn

Afbeelding 1.
Opmerkelijk is welk woord in dit rijtje ontbreekt.

( noot 2)

2.3 Het aantal klanken

Rond 2000 realiseerden leesmeesters zich dat er grote verschillen zijn tussen wat je bij het lezen hoort en wat je ziet. Dezelfde letter kan verschillend uitgesproken worden en verschillende letters kunnen dezelfde uitspraak hebben. Bij het rekenen daarentegen speelt die auditieve component geen rol. Het aantal 4 is alleen 4. Er is maar één woord. Wat de klanken betreft, is rekenen dus eenvoudiger dan lezen.

3 Naar beeldherkenning

De leesmeester kan zijn materiaal niet kiezen. Hij moet het doen met de officiële schrijfwijze. Hij heeft daarbij wel een beetje geluk. Geschreven woorden hebben hier en daar wat staarten en stokken. Daardoor ontstaan 2d-woordbeelden. Die beelden kunnen de kinderogen leren direct visueel te herkennen en te interpreteren. De gebruikelijke rekenmaterialen zijn daarentegen geen beelden maar 1d-lijnen van vingers, kralen op een staaf en getallen op een lijn. Aantallen op een lijn kan het oog niét direct visueel herkennen en interpreteren. Bij een lijn moet er dus geteld worden.

Het geluk van de rekenmeester is dan weer dat hij zijn materiaal wél zelf kan kiezen (o.a. blokjes, telraam, getallenlijn). Rekenen zou dus gemakkelijker kunnen zijn. Maar ja, als er een vrije keuze is dan kun je ook verkeerd kiezen. Dan heeft het kind weer pech. Dubbele pech zelfs want de psychologie is niet zo handig in het bruikbaar formuleren van zijn kennis voor het ontwerpen (Verhoef, 2007). Bijvoorbeeld de kennis over het waarnemen van lijnen en het waarnemen van beelden. Als er dus een probleem is dan lossen niet-psychologische disciplines het psychologische probleem op. Anders dan de psychologie dat zou doen. Dus moet de psychologie het eerst over de onwelgevallige psychologische conclusies hebben. Wat valt er te zeggen over realistische, traditionele en intuïtieve beelden waar je mee zou kunnen leren automatiseren.

3.1 Met realistische beelden

Een gebruikelijke ontwerpstrategie is het tonen van de werkelijkheid. Die realistische afbeeldingen hebben een bepaalde visuele vormgeving die afhankelijk is van de functie van het object en de fysieke beperkingen. Ook de bijhorende terminologie is bepaald door de functie en de historie van het object. Niet door de pasvorm voor getallen en psychologie. Zo toonden navigatiesystemen de werkelijkheid buiten de auto: wolken en weilanden (afb. 2, Verhoef, 2010).

De werkelijkheid buiten getoond

Afbeelding 2.

Maar ja, de automobilist ziet die wolken en weilanden zelf beter door de ruit waar hij toch onafgebroken door moet kijken. Wat hij niet ziet maar wat hij wel nodig heeft voor zijn planning zijn de beslispunten áchter de horizon: tank-, eet-, rust- wc- en speelmogelijkheden voor de kinderen. Dat is interessanter dan wolken en weiden waarmee je niet relaxter thuis komt. Je moet dan iets hebben in de geest van afbeelding 3.

Beslispunten achter de horizon getoond

Afbeelding 3.

Die realistische beelden zijn metaforen. Dat zijn toch wel valkuilen waar ontwerpers gemakkelijk in vallen (Verhoef, 2001). Dat risico is vooral groot als het om de psychologie gaat (Vroon & Draaisma, 1985). Ook het rekenen maakt gebruik van metaforen: de boekzaksom, de bus, dobbelstenen, eendjes, de eierdoos, kabouters, liften, munten voor automatiseren van sommmen <10, munten voor de tienvoudnul, paddenstoelen, de rekenman en verliefde harten. Neem nu de bus om het leren optellen onder 10 te automatiseren (Vugt & Wüsten, 2009). Hoe gaat dat psychologisch in zijn werk?

3.1.1 Uitrekenen van het aantal reizigers

Passagiers gaan niet netjes geordend staan zoals de streepjes op een kerfstok. De kinderen moeten dus tellen. Daardoor krijg je meer dan 4% telfouten en dus verkeerd geautomatiseerde sommen. Aantalstructuren en cijfers die leiden tot automatiseren zijn bij de halte niet te zien. Bovendien is het kind nog steeds aan het tellen en wordt de telreflex verder ontwikkeld. Dat was nu net het probleem.

3.1.2 Begrijpen wat optellen is

Je kunt de bussen nog redden door te zeggen dat je met bussen uitlegt wat optellen is. Wat optellen is kunnen bussen op papier echter niet goed tonen. Vooral als je nog niet aangepast bent aan de culturele conventies voor richting (van links-rechts, pijlen). Een verandering in tijd is op een statisch middel als papier moeilijk te tonen. Als je al moet uitleggen wat optellen is dan zou je dat met woorden kunnen doen zoals met afbeelding 1. Maar zouden kinderen van groep 3 niet begrijpen wat het betekent als je zegt: Wil je nog 4 snoepjes erbij hebben? Kortom, realisme wordt: een plaatje omdat het moet. Maar je weet niet wat het kind met het plaatje doet.

Draai het om. Onderwijs getallen niet met realiteiten maar maak realiteiten beheersbaar met getallen. Toon eerst de zuivere, generieke, systematich en psychologisch goed gevisualiseerde en verwoorde getallen en getalstructuren. Dáárna laat je zien hoe bijvoorbeeld tientalligheid bij onbegrijpelijke munten werkt.

Al met al is het dus begrijpelijk dat die realistische beelden het (vinger)tellend optellen niet oplossen. Het onderwijs ging dus op zoek naar wat anders. Maar wat dan?

3.2 Met traditionele beelden

Helaas, iets anders dan de werkelijkheid was er kennelijk niet. Een gebruikelijke ontwerpstrategie is dan: Terug naar vroeger. Het horseless carriage syndroom heet dat. Je ontwerpt een nieuw middel maar je houdt de vormgeving en de functionaliteit gelijk aan die van het oude middel (De Wilde, 2000). Tegenwoordig rijden er nog steeds auto's rond die achterop een 'koffer'bak hebben zoals paardenkoetsen die ook hadden. Je verbindt de riemen van een roeiboot aan een stoommachine en je hebt een stoomboot (afb. 4). Je hebt dan wel de nadelen van de oude roeitechniek. Door de uitstekende riemen kom je moeilijker door smalle en lage bruggen. Ook het laden, lossen en aanleggen langs andere schepen en de wal is lastiger. Met diezelfde stoommachine en een schroef aan de achterzijde is dat alles eenvoudiger.

Nieuwe stoomtechniek toegepast op oude roeitechniek

Afbeelding 4.

Het rekenen kent ook koetsen zonder paarden. Je kunt de pagina's uit het papieren boek of de papieren werkbladen tonen op een scherm. Misschien laat je de computer de uitkomsten zelfs nog nakijken. Maar dit zijn toch oude sommen op nieuwe schermen. Het zijn de traditonele formulesommen van Willem Bartjens (1604). Nu kon Willem dat nog wel doen. Hij had alleen duur papier en geen goedkope schermen.

De leerlingen in groep 3 en 4 zijn bovendien jonger dan de leerlingen van Willem. Kinderen in groep 4 denken nog intuïtief en zijn nog sterk afhankelijk van de waarneming zoals we al enige tijd weten (Mussen et al. 1970, Piaget, 1969). Daar passen abstracte formules met abstracte symbolen voor hoeveelheden niet zo goed bij. Maar vooral kun je met een beeldscherm meer dan met papier. Het scherm kan zeggen: Alles goed Leila, 2 bonuspunten! Dat is voor een programmeur een fluitje van een cent. Maar de ontwerppsycholoog zou zeggen: Ja, ja, alles goed maar wel een reactietijd van gemiddeld 12 seconden, (vinger)tellen dus. Ik ga aantalbeelden flitsen. Dát kan papier niet. (Verhoef, 1983). Is er ook nog wat anders dan traditionele beelden?

3.3 Met 'intuïtieve' beelden

Freudenthal (1984) heeft het over intuïtieve rekenkundige operaties. Het kind kan dan misschien wel rekenkundig correct handelen zonder dat die handeling uitgelegd is en zonder dat het kind die handeling kan verwoorden en begrijpen. Het handelen van het kind kun je dan eventueel intuïtief noemen. Maar ja, intuïtief lijkt toch vaak wel op: Ja, ik weet niet hoe het zit en ik weet ook niet waarom het zo is. Met intuïtief kun zo je dus veel problemen 'oplossen' zonder ze te begrijpen. Kast (2008) heeft een boekje volgeschreven met intuïtieve vaardigheden van mensen. Intuïtief komt dus ook voor in de optocht van 12 oplossingen voor gebruiksvriendelijkheid van de ICT ( noot 3) Maar het kind kan dan wel goed rekenen zonder het te kunnen verwoorden maar het rekenonderwijs moet wél begrijpen hoe je dat voor elkaar krijgt.

4 Met beeldrekenen naar automatisering

Bij de woorden realistisch, traditioneel en intuïtief denken gebruikers: Ah, net als vroeger, het ziet er bekend uit. Ah, een plaatje en geen onduidelijke woorden. Ah, het is intuïtief dus ik hoef niet na te denken. En ontwerpers denken Ah gewoon copy paste een leuke werkelijkheid. Ik hoef niet naar de ontwerppsycholoog. Dat komt vooral goed uit als het gaat om ingewikkelde zaken zoals uitleggen wanneer een computer de automobilist moet vertellen wanneer hij naar rechts moet of wanneer je een kind moet vertellen dat 5+4=9 want 4+4+1=9. Inmiddels weten we dat dergelijke niet-psychologische beloften van de ICT het probleem van gebruiksvriendelijkheid niet oplossen.

Na deze niet-psychologische ontwerpuitgangspunten zijn we eindelijk bij het grootste psychologische verschil tussen lezen en het automatiseren van sommen. Bij het lezen gaat het om woordbeelden. Die woordbeelden sluiten meer aan bij de ogen dan lijnen met kralen of getallen, dan realistische, traditionele en intuïtieve beelden. We zagen al eerder dat bij lijnmiddelen het onbekende psychologisch fundamentele oogfixatieveld over het hoofd gezien werd. Bij het leren lezen is er directe visuele interpretatie van het woordbeeld. Kun je ook aantalbeelden direct interpreteren? Precies wat je ook doet bij het leren lezen en wat je ook doet als er 4 of 5 wolven op je af stormen?

4.1 Zoogdieren

Zie je niet snel genoeg aan het gezicht van de leider dat hij boos begint te worden dan heb je minder kans op overleven. Een schaap wil zich niet vergissen tussen een schapenkop en een wolvenkop. Een schaap kan daarom goed beelden van koppen herkennen en weet zelfs precies welke schapenkop bij zijn kudde hoort. Kinderen trouwens ook. Na 3 maanden reageert een baby al op het bekende gezicht van zijn moeder (Mussen et al. 1970). De evolutie heeft namelijk voor zoogdieren in miljoenen jaren wijselijk een oog gebouwd dat complexe visuele beelden zeer goed kan waarnemen en die voor een deel zelfs geïnterpreteerd naar de hersenen stuurt. Dat herkennen van een beeld gaat snel, binnen 233 milliseconden hebben de ogen het wel gezien en geïnterpreteerd. Ook wanneer het beeld ingewikkeld is en delen van het beeld zich net buiten het oogfixatieveld bevinden.

Tellen doen zoogdieren dus niet. Niet nodig. Te langzaam. Te gevaarlijk. Vier aanstormende wolven is immers evenveel als vijf namelijk: Wegwezen. Je ogen tellen ook niet met een getallenlijn (meetlint) welke lijn van afbeelding 5 het langst is maar zien dat direct. Althans dat denken ze. Een sluwe psychologie kan het oog met list bedrog en intimidatie zelfs sturen naar een interpretatie die de psychologie welgevallig is (Verhoef, z.j.).

Is de blauwe lijn langer?

Afbeelding 5.

( noot 4)
Tot zover ging het over gezichtsbeelden. Geldt dit alles ook voor aantalbeelden? Nou, bij apen wel. Apen kunnen aantalbeelden tot 10 herkennen (De Waal, 2017). Zonder tellen. Apen kunnen dat trouwens ook uitstekend. Ze doen dat overigens niet motorisch tellend. Maar ja hoe doen ze dan wel? Niet 'intuïtief' maar met directe visuele interpretatie dus. Dat zou ook verklaren waarom apen zo snel zijn. Zouden kinderen dat dan ook niet moeten kunnen?

4.2 Aboriginal kinderen

Butterworth et al. (2008) vergeleken Engelssprekende Australische kinderen tot zeven jaar met kinderen die alleen een Aboriginaltaal spreken. Daar tellen ze Een, twee, meer-dan-twee. Wat bleek? Aboriginal kinderen rekenden tot 9 iets beter dan de Engelssprekende kinderen. Overigens is dat 'beter' niet statistisch significant maar ze kunnen het dus wél en niet slechter. Rekenen zonder te kunnen tellen kan dus, zo lijkt het.

4.3 Belgische kleuters

Tegenwoordig veronderstelt men dat patroonherkenning belangrijk is voor de wiskundige ontwikkeling. Daarom heeft de Leuvense rekengroep van Verschaffel dat grondig onderzocht (Wijns et al. 2019, Wijns, et al, 2021). De Belgen leerden kleuters patroonreeksen als in afbeelding 6. Maar ze vonden geen transfer naar numerieke vaardigheden.

Belgische kleuters kunnen zulke reeksen afmaken

Afbeelding 6.

Het onderzoek van Wijns maakt wél duidelijk dat het de moeite waard is wat meer naar beelden te kijken als het gaat om het leren rekenen. Zeker omdat de beelden die Wijns aan kleuters toonde moeilijker zijn dan de aantalbeelden tot 10 op bijvoorbeeld een dobbelsteen. Er zijn de volgende verschillen.

• De beelden van Wijns verschillen tegelijk in twéé eigenschappen: vorm en kleur. De aantalbeelden op dobbelstenen verschillen maar op één variabele: aantal.
• Verder zijn de beelden van Wijns een 1d-lijn en geen 2d-veld. Daardoor is het gehele beeld niet tegelijk visueel aanwezig in het oogfixatieveld en kan het beeld dus alleen mentaal in het werkgeheugen beredeneerd worden. Het gaat dus meer om denkend voorspellen dan om het visueel herkennen van concrete visuele beelden.

Als Belgische kleuters dus lijnen van objecten met een regelmaat van twee verschillende visuele kenmerken kunnen voorzetten, dan kunnen Nederlandse zevenjarigen eenvoudiger aantalbeelden tot 10 vast ook wel herkennen zonder tellen.

5 Zijn er aantalbeelden

Lijnen met aantallen vingers, kralen en getallen zijn populair in het onderwijs. Beelden voor aantallen zijn niet populair. Opmerkelijk. Beelden passen toch zo goed bij de ogen, de taal, het geheugen, het denken en de getallen? Aantalbeelden voor het automatiseren onder 10 zijn er overigens wel maar die lijken in een verdomhoekje te zitten. Het volgend artikel kijkt in dat hoekje.

Noten

Noot 1:
Kinderen hebben bij een normale spraak-taalontwikkeling een passieve woordenschat van //6000-14.000 woorden (Goorhuis-Brouwer) https://www.smartonderwijs.nl/uploads/9/4/6/7/9467353/spraak-taalontwikkeling_tot_7_jaar.pdf

Noot 2:
Het meest gebruikelijke woord "optellen" ontbreekt. Dat is ook het woord dat je niet moet gebruiken omdat je kinderen zo aanzet tot tellen.

Noot 3:
beleving, behavioral design, gebruikvriendelijkheid, human computer interaction, intuïtief, persuasive design, sociale interface, software psychologie, useability, user centered, user experience.

Noot 4:
De groene lijn is niet langer. Beide lijnen zijn even lang.

Literatuur

Bartjens, W. (1604). Cijfferinghe. Heruitgave van Beckers en Kool. Uitgeverij Verloren, 2004.

Butterworth, B., Reeve,R., Reynolds, F. & Lloyd, D. (2008). Numerical thought with and without words: Evidence from indigenous Australian children Pnas: 105 (35) 13179-13184, sep. 2 2008, https://doi.org/10.1073/pnas.0806045105.

Freudenthal, H. (1984). Didactical Phenomenology of Mathematical Structures. Dordrecht: Reidel.

Kast, B. (2008). Hoe de buik het hoofd helpt denken. De intelligentie van het onbewuste en de kracht van de intuïtie. Amsterdam: Wereldbibliotheek bv.

Koenen, L. (2020). Liesbeths Onaffe. Waargebeurde Taalverhalen. www.liesbethkoenen.nl/liesbeths-onaffe/

Mussen, P.H., Conger, J.J. & Kagan, J., (1970). Child Development and Personality. New York, etc.: Harper International. Pag. 305.

Piaget, J. (1969). Zes psychologische studies. Deventer: Van Loghum Slaterus.

Verhoef, L.W.M. (1983). Leren rekenen met de computer. In: Jeugd in school en wereld, vol. 67, no 6, pag. 381-385.

Verhoef, L.W.M. (2001). Metaforen: valkuilen die niet opvallen. Automatisering Gids, 21 september 2001. https://www.humanefficiency.nl/psychologie/metaforen.php

Verhoef, L.W.M. (2009). Why designers can't understand their users. Developing a systematic approach using cognitive psychology. Utrecht: Human Efficiency.

Verhoef, L.W.M. (2010). Kijken achter de horizon, landschap- versus portretoriëntatie bij in-car navigatie. In: Verkeer in beeld, pag. 38-39.

Verhoef, L.W.M., (z.j.). List-, bedrog- en intimidatiepsychologie

Vroon, P. & Draaisma, D. (1985). De mens als metafoor. Over vergelijkingen van mens en machine in filosofie en psychologie. Baarn: Ambo.

Wijns, N., Torbeyns, J., De Smedt. B. de & Verschaffel, L., (2019). Young Children’s Patterning Competencies and Mathematical Development: A Review. In: Robinson et al. Mathematical Learning and Cognition in Early Childhood. Pag. 139-161.

Wijns, N., Verschaffel, L., De Smedt, B. De Keyser, L., & Torbeyns, J. (2021). Stimulating preschoolers’ focus on structure in repeating and growing patterns. In: Learning and Instruction. Volume 74, August 2021, 101444
https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0959475221000037?via%3Dihub

Waal, F.B.M. de (2017). Zijn we slim genoeg om te weten hoe slim dieren zijn? Amsterdam Antwerpen: Atlas Contact.

Wilde, R. de, (2000). De voorspellers. Een kritiek op de toekomstindustrie. Amsterdam: De Balie.