De leerlijnen de baas

Noodzakelijke kennis voor goed reken-wiskundeonderwijs

Kennis van leerlijnen is van vitaal belang voor het bieden van adequate hulp. Martie de Pater-Sneep deed onderzoek naar de wensen van leraren ten aanzien van een verbeterde kennis van leerstoflijnen en geeft in dit artikel handvatten om meer greep te krijgen op deze lastige materie.

Leerlijnen: waar he​bben we het over?

Een leerlijn is een samenvoeging van enerzijds de leerstoflijn die aangeeft welke leerstof wordt behandeld en beheerst moet worden per jaargroep, en anderzijds de onderwijslijn die aangeeft op welke manier de leerstof wordt geleerd. Hierin staan didactische aanwijzingen als materialen en modellen, als ook de verschillende hoofdfasen binnen de leerstof centraal. Deze hoofdfasen en hun relatie tot elkaar wordt weergegeven in afbeelding 1.

Elke leerlijn kent daarnaast ook cruciale leermomenten. Dit zijn als het ware eye-openers voor kinderen om een niveauverhoging te kunnen doormaken binnen de leerlijn. Daarbij kan ook een opbouw zichtbaar zijn van concreet naar abstract. De verschillende fasen van niveauverhoging zijn zichtbaar gemaakt in het zogenoemde handelingsmodel (zie afbeelding 2).

In het geval van de leerlijn delen, verdelen leerlingen daadwerkelijk voorwerpen (fase ‘doen’). In de volgende fase is deze werkelijkheid afgebeeld als foto of tekening (fase ’voorstellen concreet’). De fase daarna wordt deze afbeelding geschematiseerd (fase‘ voorstellen abstract’), waarna hij in de laatste fase plaatsmaakt voor de abstracte notatie, bijvoorbeeld 24 : 6 (fase ‘formeel  handelen’). Voor een goed begrip is het van belang bij elke fase te verwoorden wat er gebeurt. Dus zowel van abstract naar concreet als van concreet naar abstract (De Pater- Sneep & Janson, 2012)

Leerlijnen geen doel op​ zich

Regelmatig vragen scholen om begeleiding rondom leerlijnen. Ze willen dan van een bepaald rekenonderwerp graag weten ‘wat de leerlijn is’. Men wil dan het liefst een overzicht van een leerlijn in de vorm van een lijstje of cruciale momenten binnen de gekozen leerlijn die ze bijvoorbeeld op hun bureau kunnen neerleggen of in de klassenmap kunnen stoppen. Methode-uitgevers voldoen aan deze wens door brochures uit te geven met strategieën en leerlijnen binnen de door hen uitgegeven rekenmethode. Daarmee lijkt de vraag van scholen beantwoord. Cruciaal is echter de onderliggende reden waarom het belangrijk is om leerlijnen te kennen. 

Kennis van leerlijnen is geen doel op zich maar een middel om passend rekenonderwijs te realiseren.

Een voorbeeld: Rosalie (groep 6) heeft moeite met de tafels. Sommen als 5 × 3 en 6 × 5 zijn nog steeds niet gememoriseerd. Ze krijgt regelmatig huiswerk mee naar huis en ook op de computer heeft ze al talloze keren geoefend. De leerkracht bespreekt met de IB-er wat ze nu nog kan doen om haar te helpen. De IB-er oppert dat een tafelkaart wellicht uitkomst kan bieden.

Kennis van leerlijnen is geen doel op zich maar een middel om passend rekenonderwijs te kunnen realiseren. Dit gaat verder dan het kunnen nalezen van enkele kernpunten. Het vraagt een doorleefde kennis van leerlijnen zodat deze kennis tijdens de rekenles direct ingezet kan worden. De vraag is of het probleem van Rosalie (zie kader) wordt opgelost door haar een tafelkaart te geven. Zaak is te achterhalen waarom het haar niet lukt de tafels te memoriseren. Wanneer de oorzaak bekend is, kan ook worden bepaald of het thuis maken van tafelsommen en het oefenen op de computer passende hulpactiviteiten zijn. Om het onderliggende probleem van Rosalie te kunnen achterhalen is het nodig een rekengesprek met haar te voeren waarbij kennis van de leerlijn vermenigvuldigen een vereiste is.

Evenwichtige aand​acht voor alle leerlijnen

Over het geheel genomen krijgen de leerlijnen optellen/aftrekken en vermenigvuldigen/ delen veel aandacht op scholen. Daarna volgen meten, tijd en geld. In de praktijk blijkt daarnaast dat tabellen/grafieken, breuken, procenten en kommagetallen -zeker in de onderbouw- minder aandacht krijgen. Dit terwijl deze onderwerpen zeker zo belangrijk zijn voor functionele gecijferdheid. De meeste kleuterpakketten besteden tegenwoordig ook aandacht aan deze onderwerpen.

Maar ook wanneer er zonder kleuterpakket gewerkt wordt, zijn er volop mogelijkheden om met deze onderdelen aan de gang te gaan. Denk bijvoorbeeld aan het maken van een staafdiagram van het aantal boterhammen dat de leerlingen per dag eten. Of een oriëntatie op kommagetallen wanneer leerlingen de reclamefolders bekijken die in de huishoek liggen. Binnen elk thema zitten wel mogelijkhedenverstopt om hier aandacht aan te besteden.

Wat moeten lera​ren weten van een leerlijn

Elke leerlijn bevat modellen, strategieën en cruciale leermomenten (De Pater – Sneep, 2012). Met een model kan de kloof tussen een concrete context en de abstracte som worden overbrugt. Een voorbeeld van een model binnen de leerlijn optellen en aftrekken is bijvoorbeeld de getallenlijn en binnen de leerlijn breuken het pizzamodel. De rol van een model wordt goed zichtbaar in het handelingsmodel, waarin de opbouw zichtbaar wordt van het handelen met materiaal, via het werken met modellen naar uiteindelijk de kale som.

Enkele cruciale bouwstenen voor het kunnen toepassen van de rijgstrategie:

• Splitsingen t/m 10 kunnen maken
• Aan kunnen vullen tot een 10-voud (47 + 8 = 47 + 3 +5)
• Op kunnen tellen vanaf een 10-voud (50 + 16 —> 50 + 10 —> 60 + 6)
• Af kunnen trekken tot een 10-voud (57 – 18 —> 57 – 10 —> 47 – 7 —> 40 – 1)
• Weten welk getal je moet splitsen, dus in 47 + 8 weten dat je 8 moet splitsen in 3 en 5
• Sprong van 10 kunnen maken vanaf elk willekeurig getal
• Relatie snappen tussen de kralenketting en de getallenlijn
• Inzicht in getalopbouw (tientallen en eenheden)

Cruciale leermomenten zijn bouwstenen binnen een leerlijn die noodzakelijk zijn om de volgende stap te kunnen maken.

Een strategie is een manier waarop je een som kunt uitrekenen, bijvoorbeeld een staartdeling bij de opgave 3888 : 16 of de strategie één keer minder bij de opgave 9 × 9. Strategie-ontwikkeling kan pas plaatsvinden wanneer de begripsfase goed is afgerond. Deze voorwaardelijke relatie wordt zichtbaar in het model voor hoofdfasen (zie afbeelding 1).Cruciale leermomenten zijn stapjes of bouwstenen binnen een leerlijn die, het woord zegt het al, noodzakelijk zijn om de volgende stap te kunnen maken. Het model voor hoofdfasen maakt zichtbaar dat elke leerlijn bestaat uit vier cruciale fasen: de fase van begripsvorming, het ontwikkelen van strategieën, het vlot leren uitrekenen en het toepassen. Binnen elke fase zijn ook weer cruciale momenten aan te wijzen.

Bij het optellen tot 10 bijvoorbeeld, is het cruciaal dat leerlingen heen en terug kunnen tellen vanaf een willekeurig getal zodat ze bij een som als 3 + 2 niet telkens bij 1 beginnen te tellen, maar starten vanaf 3. Ook voor het kunnen toepassen van de rijgstrategie moet een leerling een aantal bouwstenen beheersen. Om passende hulp te geven is het van belang om te weten op welk punt het mis gaat. Stagneert de leerling doordat één van de fasen van het hoofdfasenmodel onvoldoende ontwikkeld is of bepaalde cruciale leermomenten binnen een fase, gaat het mis bij het vertalen van de context naar de kale som of past het handelingsniveau van de instructie niet bij het handelingsniveau waar de leerling op dat moment zit. Pas wanneer dat bekend is, kan worden bepaald waarmee de leerling geholpen is; met een model, oefeningen rondom begripsvorming, werken aan strategieën, een lager handelingsniveau, etc.

Kortom: het hoofdfasenmodel en het handelingsmodel bieden voor elke leerlijn het onderliggende denkkader waarbinnen de strategieën (hoofdfasenmodel) en de modellen (handelingsmodel) een plek hebben. Met deze twee modellen kun je dus meer grip krijgen op leerlijnen en zowel diagnosticeren als hulp geven. Wat betekent bovenstaande voor Rosalie uit het voorbeeld? De leraar constateert dat Rosalie vastloopt in de fase van het vlot rekenen. De hulp die ze krijgt (huiswerk maken en oefenen op de computer) bevindt zich ook in deze fase. De vraag is nu of het probleem wel zit in de fase van het vlot rekenen.

Als dit niet het geval is, is de hulp ook niet passend bij wat Rosalie nodig heeft. In een rekengesprek wordt gekeken in hoeverre begripsfase en strategiefase bij Rosalie goed zijn ontwikkeld. Op de vraag of ze een verhaaltje kan bedenken bij de som 5× 3 antwoordt ze: ‘Er zitten 15 kinderen in de klas. De helft van meisjes en de helft van jongens heeft 15’. Bij de som 3 × 2 maakt ze het verhaaltje: ‘In groep 1 zitten 6 kinderen en er zijn 3 jongens en 3 meisjes. Op de vraag of ze een tekening kan maken bij deze som maakt ze de tekening in afbeelding 3 (zie hiervoor ook de artikelen van Ceciel Borghouts over de vertaalcirkel in Volgens Bartjens).

Blader eens door het rekenboek van een (of meer) leerja(a)ren en probeer de vier stappen van het hoofdfasenmodel te herkennen: hoe ziet de begripsfase eruit, aan welke strategieën wordt aandacht besteed, welke opgaven passen bij het vlot leren uitrekenen en welke toepassingsopgaven zie je? Doe hetzelfde voor het handelingsmodel: welke doe- opdrachten zie je, naar welke materialen wordt verwezen, hoe wordt het materiaalgebruik afgebouwd, welke modellen worden er gebruikt en hoe wordt het gebruik hiervan weer afgebouwd? Op deze manier krijg je al meer grip op (een deel van de) leerlijnen voor jouw leerjaar.

Hoewel de uitkomst goed is, kan Rosalie de gegevens uit een som niet omzetten naar een kloppend verhaal of passende tekening. Uit het gehele gesprek blijkt dat Rosalie de begripsfase van het vermenigvuldigen niet goed heeft afgerond, waardoor het aanleren van strategieën bij haar niet landt en ze hierdoor niet toe komt aan het automatiseren en memoriseren van de tafelsommen. Eerst zal met Rosalie dus teruggegaan moeten worden naar begripsvorming rondom vermenigvuldigen (wat is 3 × 2 en waarom is dat niet zomaar hetzelfde als 2 × 3? Hoe zie je dat verschil in een tekening?) en van daaruit strategieën leren doorzien en hanteren. Dit zal ze dan steeds meer verkort leren uitvoeren tot de tafelsommen geautomatiseerd en wellicht gememoriseerd zijn. Tot slot kan ze haar tafelkennis dan leren toepassen bij complexere opgaven. 

Greep krijgen op leerlijnen is net als het maken van een puzzel: van losse delen een mooi geheel maken

Aan de slag met le​erlijnen

Grip krijgen op leerlijnen was de aanleiding voor dit artikel. Het model voor hoofdfasen en het handelingsmodel bieden een raamwerk dat op elke leerlijn gelegd kan worden en beide modellen kunnen daardoor bijdragen aan meer grip op leerlijnen. Omdat kennis van leerlijnen geen doel op zich is maar een middel om passend rekenonderwijs te kunnen realiseren, kan het heel zinvol zijn om te starten vanuit een praktijkcasus. Bepaal allereerst in welke fase van het hoofdfasenmodel en op welk handelingsniveau de opgaven zitten waar de leerling moeite mee heeft. Breng door middel van een rekengesprek in kaart in hoeverre de verschillende fasen zijn ontwikkeld en op welk handelingsniveau de leerling de opgaven wel kan maken. Al doende krijg je hierdoor steeds meer zicht op leerlijnen. Een andere mogelijkheid is zoals in het kader beschreven, het hoofdfasenmodel (met daarin strategieën) en het handelingsmodel (met daarin modellen) te leren herkennen in een of meer delen van een rekenmethode. 

Ook zijn er diverse zinvolle bronnen met achtergrondinformatie over leerlijnen beschikbaar. Veel gebruikt zijn de kwaliteitskaarten die ontwikkeld zijn in het kader van ‘School aan zet’. Een goede aanvulling op deze schriftelijke weergaven, zijn de visuele weergaven vanuit het project ‘Speciaal rekenen’. De Kennisbank rekenen van OU en SLO biedt een volledig overzicht van de leerlijnen met dwarsverbanden en veel voorbeelden uit de nieuwe generatie rekenmethodes. Een nieuwe website rondom leerlijnen is Digilijnrekenen. Deze website biedt op een visuele manier inzicht in de leerlijnen en cruciale leermomenten van o.a. getalbegrip, rekenen t/m 10, 20 en 100 en vermenigvuldigen.

De leerlijnen worden geïllustreerd met filmpjes, lessuggesties en achtergrondinformatie. In feite is het grip leren krijgen op leerlijnen net als het maken van een puzzel. Je bekijkt elk puzzelstukje eerst goed om te weten waar het ongeveer in het geheel zou moeten passen. Als alle stukjes goed zijn neergelegd krijg je zicht op de gehele plaat en dat is het uiteindelijke doel van een puzzel; van alle losse delen een mooi geheel maken. Zo is het ook met het zicht krijgen op leerlijnen. Je hebt losse stukjes kennis die je moet leren kennen (cruciale momenten, strategieën, modellen, enzovoort). Wanneer je ze kent, kun je ze gebruiken om toe te werken naar je doel: het geven van passend rekenonderwijs aan alle leerlingen.

Literatuu​r

Groenestein, M., C. Borghouts, & C. Janssen (2011).
Protocol Ernstige Reken- Wiskundeproblemen en Dyscalculie. Van Gorcum (Assen)
Pater–Sneep, M. de (2012). Wie kan delen, kan vermenigvuldigen. Volgens Bartjens, 31 (4).
Pater–Sneep, M. de & Janson, D. (2012). Vermenigvuldigen: meer dan tafels leren. Pulse primair onderwijs, 4 (4).
Borghouts , C. (2011-2012). De Vertaalcirkel. Volgens Bartjens jrg 31 nr. 2, nr 3, nr 4 en nr 5.

Raadp​legen

Speciaal rekenen. (2004). Freudenthal Instituut: Utrecht
www.schoolaanzet.nl
www.kennisbankrekenen.nl
www.digilijnrekenen.nl

Verder kijken